Espacio muestral

Espacio muestral

En la teoría dde probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de o-algebra llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara,cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos. 

(Liliana Blanco Castañeda 2010). 

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. 

(Liliana Blanco Castañeda 2010). 

Tipos de espacio muestral

Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales: discretos y continuos.

Discretos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es finito o infinito numerable.

Espacio probabilístico discreto

Es aquel cuyo espacio muestral es discreto. Podemos diferenciar varios tipos de espacio probabilístico discreto:

Espacio probabilístico discreto equiprobable 

Su espacio muestral es finito de tamaño n. 

Espacio probabilístico finito 

Su espacio muestral es discreto finito. 

Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen. P ( A ) ≠ P ( B ) {\displaystyle P(A)\neq P(B)}

Procesos estocásticos finitos y diagramas de árbol

Un proceso estocástico es una sucesión finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un nº finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de árbol.

Ahora bien, la probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los distintos resultados aislados posibles. Así, la probabilidad de sacar siempre un resultado impar en los dados, independientemente del resultado de la moneda, será:

P ( I ) = 1 2 ⋅ 1 6 + 1 2 ⋅ 1 6 + 1 2 ⋅ 1 6 + 1 2 ⋅ 1 6 + 1 2 ⋅ 1 6 + 1 2 ⋅ 1 6 {\displaystyle P(I)={1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}} 

Espacio probabilístico infinito contable

Aquel cuyo espacio muestral es discreto infinito contable. Por ejemplo: 

La probabilidad de que salga cara en la primera tirada ----> 1 2 {\displaystyle {1 \over 2}}

La probabilidad de que salga nuevamente cara en la segunda tirada ----> 1 2 ⋅ 1 2 = 1 4 {\displaystyle {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={1 \over 4}}

La probabilidad de que salga nuevamente cara en la tercera tirada ----> 1 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2 = 1 8 {\displaystyle {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={1 \over 8}}

Continuos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es infinito incontable.

Espacio probabilístico continuo 

Espacio muestral infinito no numerable. -No es posible observar puntos concretos del espacio. 

Tiene sentido hablar de intervalos observados. - No es posible asignar probabilidad a un punto en concreto. 

Por tanto la función P está definida sobre intervalos -----> P ( K i < E x p > K e ) {\displaystyle P(K_{i}<Exp>K_{e})}

-Habitualmente cuando trabajamos con magnitudes físicas.

Particiones

Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre Ω se define como un conjunto numerable:

{ A i } i ∈ N {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\;} tal que: 

A 1 ∪ A 2 ∪ . . ∪ A n = Ω {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup ..\cup A_{n}=\Om

A i ∩ A j = ∅ ∀ i ≠ j ; i , j = 1.. n {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \;\forall i\neq j;\ i,j=1..n}

P ( A i ) > 0 ∀ i = 1.. n {\displaystyle P(A_{i})>0\;\forall i=1..n}

Ejemplos

Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 posibles espacios muestrales para modelar nuestra realidad: 

La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.

(Liliana Blanco Castañeda 2010).